Angular アプリケーションをデプロイする場合、バックエンドサービスをサーバーレスとしてデプロイするよう指定できます。それらを Azure Functions としてデプロイできます。
その後、クロス オリジン リソース共有 - CORS を設定する必要があります。
この設定は、フロントエンドアプリケーションをデプロイした後に行う必要があります (「フロントエンドアプリケーションをクラウドプロバイダーのオブジェクトストレージにデプロイする方法」を参照)。
Azure API Management (APIM) をバックエンドサービスのデプロイに使用する場合、Azure ポータルで APIM の API 受信ポリシーを設定し、Angular アプリが実行されているマシンの CORS Allow Origin ポリシーを設定します。

例:

<cors allow-credentials="true">
  <allowed-origins>
    <origin>http://localhost:62560/</origin>
  </allowed-origins>
  <allowed-methods preflight-result-max-age="300">
     <method>*</method>
  </allowed-methods>
  <allowed-headers>
    <header>*</header>
  </allowed-headers>
  <expose-headers>
    <header>*</header>
  </expose-headers>
</cors>

詳細については、Azure のドキュメントを参照してください。
APIM を使用せず Azure Functions としてデプロイするだけの場合は、Function App の Function App CORS の設定 (左側のメニュー) で CORS を設定してください。